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  • 幂指函数极限计算方法探讨

    来源:www.shuoshisheng.net 发布时间:2020-03-29

    [摘要]指数函数是一种非常特殊的函数,它的极限解是极限问题中的一个难点。总结了求指数函数极限的一般方法,并运用重要极限及其推广公式、Lopida规则、等价无穷小替换等技巧来求指数函数的极限。

    [关键词]指数函数;限制;重要限制;无穷小替换

    1。引言

    我们称这样的函数为幂函数。由于幂函数是一种特殊的函数,并且幂函数的极限类型很多,求幂函数极限的方法一直是极限问题中的难点。求幂函数极限的问题经常出现在研究生入学考试数学和期末考试中。然而,寻找幂函数极限的方法在教材中没有得到系统的解释。此外,计算幂指数函数极限的方法很多,既复杂又难以掌握。本文总结了计算幂指数函数极限的一般方法。我们还利用重要极限及其推广公式、Lopida法则、等价无穷小代换等技术来寻找幂指数函数的极限。希望本文能帮助我们更好地掌握求幂指数函数极限的方法。

    2。寻找幂指数函数

    2.1型

    定理1[1]极限的方法如果有一个极限,而且有

    (定理1中的变化过程如下。改变的过程是一样的。)

    证明:只有案件可以证明,其他案件也可以用同样的方式证明。

    order,而且,两边同时取对数,因此,

    order,也就是说,在那个时候。

    重新发行,也就是说,在那个时候,所以

    示例1问道。

    解决方案:因为

    可以从定理1中得知

    =。

    示例2问道。

    解决方案:虽然函数=的域区间不存在,但是=1,存在==1。

    2.2用重要极限及其推广公式求极限

    2.2.1用重要极限公式

    我们解决了幂指数函数类型的幂指数函数的极限求值,这是很难理解和掌握的。你必须使用重要的极限,一般来说,指数函数应该变成(实数)的形式。[2]然后,利用幂函数的连续性,我们可以得到:

    我们也经常应用指数的计算法则如下:

    示例3要求限制。

    解决方案:==。例4要求限制。

    2.2.2使用重要极限的扩展公式。

    让我们看一个例子

    例5要求限制。

    解决方案:====。

    显然这个解决方案太复杂了。下面给出了重要极限的推广公式,可以用来更快地找到极限。

    其中无穷大或某个值。

    可以从定理1中得知

    =

    =。

    用这个公式,类型极限问题不需要求解,但极限可以直接求解。广义公式比广义公式更有意义,求解不定型极限[4]更简单方便。

    示例6寻求极限。

    解决方案:那时,

    ==,

    So=。

    (2)在点的某个离中心区域,既存在又存在;

    存在(或无限)。

    那么。

    对于幂函数的极限,幂函数的对数可以转化为类型,转化为类型或类型不定式,然后用Lopida定律求出解。

    示例7寻找极限。

    解决方案:这是类型。

    =。

    并且,So=e.

    例8要求限制。

    解决方案:=====。

    2.4.1中的

    2.4无穷小替换

    引理1[6]在变化中被设置为无穷小。如果~,那么。

    证明: ~,所以

    就这样。

    定理4[7]被设定为无穷小。如果~、~、和,那么就有了。

    证明:是因为~。

    无论哪种情况,都有

    这个定理4表明当=中间的和可以被等价的无穷小和代替时。

    示例9找到了极限。

    解决方案:当时,

    =。

    2.4.2等价无穷小替换

    类型极限可以转换为,其中0和是无穷小。定理5可以从定理4中得到。

    定理5[8]设置0、0和,所有这些都是无穷小的。如果~、~、和,

    这个定理5表明,在那个时候,可以用等价的无穷小代替。

    示例10要求限制。

    分析:因为,是极限形式。

    当时的解决方案:de

    =。

    类型限制。

    2.4.3可以写成,其中所有的都是无穷小的。

    lemma 2[9]被设置为无穷小,如果是这样,就有无穷小。

    证明:是因为

    定理6[10]在变化过程中被设定为无穷小。如果、和

    ,则存在

    证明:因为,因此。

    这表明,在那个时候,无穷小可以被等价的无穷小所代替。

    例11找到极限。

    分析:因为,也就是说,限制是类型。

    解决方案:当,

    2.5由定理6通过使用微分中值定理

    定理7[11]获得,如果函数满足

    (1)在封闭区间内是连续的;

    (2)开放区间中的可微性。

    那么等式中至少有一点。

    解决方案:

    在区间上使用定理7,我们得到

    ,其中,

    原始公式=。

    3。现在我们已经掌握了寻找函数极限的一般方法。例如,通过使用重要的极限公式、Lopida定律、等价无穷小代换定理等。现在我们只需要学习将这些一般方法扩展到幂指数函数的极限问题。

    型幂指数函数可以通过取极限直接计算,而

    型幂指数函数可以通过取对数、Lopida定律、重要极限和重要极限的广义公式计算。更复杂的蜜露函数可以转换成其他不定式,其极限可以重新计算。

    Reference

    [1]同济大学应用数学系总编辑。《高等数学》第一册(第五版)[。高等教育出版社。

    [2]刘小华。关于寻找幂指函数极限的问题[。高等数学研究,2008,L1 (5) :5-6。

    程玉强。[J型指数函数极限的一般公式。2012年中国科技博览会,(35): 160-160。

    [4]张勇军。一类指数函数导数公式的推导[[]。海南大学学报(自然科学版),2012。3 (2) 3336107-109。

    [5]华东师范大学数学系。数学分析(第三版)[米]。北京:高等教育出版社。

    [6]冯碧莹。对指数函数极限中等价无穷小代换的讨论[。运城大学学报,2006年10月。

    [7]宋振云。引用该论文[。师范大学学报。2009,29 (4) :76-78。

    [8]侯云昌。高等数学学习和研究生入学考试指导[。北京:国防工业出版社,2006。

    [9]王平,杨郭培。谈如何找到指数函数的极限[。上海工程技术大学教育研究,2005年3月。

    [10]张芳。无穷小在类型极限中的应用。高等数学研究。2005,25-26。

    [11]东北师范大学教材协会组织。数学分析。长春:吉林人民出版社,1981。

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